Проведіть на око пряму через хмару точок, зафіксуйте її та дізнайтеся, наскільки близько ви підійшли до прямої найменших квадратів.
Як грати
Вам дано хмару точок і пряму y = m·x + b, яка спочатку лежить горизонтально на рівні y = 0. Задайте нахил m і вільний член b повзунками або перетягуючи саму пряму. Від кожної точки до вашої прямої йде червоний відрізок залишку, що показує, наскільки пряма промахується. У режимах Exact і Best Fit похибка під час гри прихована: оцініть підгонку на око, а потім натисніть «Lock in». У результаті показано вашу похибку, цільове значення, вашу точність і пряму, до якої ви прагнули, — її намальовано пунктиром.
Exact: від 4 до 8 точок лежать точно на прихованій прямій, тож за ідеальної фіксації похибка дорівнює 0.
Best Fit: від 8 до 16 точок розкидано навколо прямої, тож жодна пряма не проходить через усі. Норматив (пар) — це похибка прямої найменших квадратів, тобто прямої з найменшою можливою сумою квадратів залишків.
Drift: точки рухаються 30 секунд, а ви утримуєте на них пряму повзунками; поточну похибку показано на екрані.
Похибка — це сума квадратів залишків: піднесіть до квадрата відстань по вертикалі від кожної точки до вашої прямої і додайте результати.
Бали (Exact і Best Fit): точність × (900 + бонус за швидкість), де точність дорівнює 1 / (1 + перевищення похибки над нормативом у розрахунку на точку), а бонус за швидкість починається зі 100 і падає до 0 через 120 секунд. У Drift бали нараховуються за частку 30 секунд, протягом якої ви утримували добру підгонку, з 1000.
Кнопка «Give up» показує найкращу пряму, і ви отримуєте 0 балів.
Розбір прикладу
У режимі Exact визначте за сіткою дві точки. Якщо це (0, 3) і (2, 4), пряма піднімається на 1 на кожні 2 по горизонталі, тож m = 0,5, а вісь y вона перетинає в точці 3, тож b = 3. Задайте ці значення, натисніть «Lock in» — і похибка дорівнює 0: точність 100 %.
Припустімо, у Best Fit 8 точок, а норматив дорівнює 15,3. Зафіксуйте пряму з похибкою 23,3 — і ви на 8 вище нормативу, по 1 на точку, тож ваша точність дорівнює 1 / (1 + 1) = 50 %. Якщо зафіксувати її через 30 секунд, коли бонус за швидкість дорівнює 75, ви наберете 0,5 × 975 = 488 балів.
Режими гри
Daily: щодня ті самі точки для всіх, для кожного випробування й рівня (день змінюється опівночі за UTC). До таблиці лідерів зараховується лише ваша перша гра Daily для кожного випробування й рівня; вона вважається зіграною з вашого першого ходу.
Practice: у кожному раунді нові випадкові точки; натисніть «New», щоб отримати інші.
Рівні з 1 по 5 додають точки, а в Best Fit і Drift — ще й розкид. Daily і Practice мають окремі таблиці лідерів для кожного випробування й рівня.
Елементи керування
Комп’ютер: перетягуйте повзунки нахилу й вільного члена або саму пряму: середина зсуває вільний член, кінці змінюють нахил. Натисніть «Lock in», коли результат вас влаштовує.
Телефон і планшет: перетягуйте повзунки або пряму пальцем, а потім торкніться «Lock in»; кнопками над графіком змінюйте випробування, режим (Daily або Practice) і рівень.
Поради та стратегія
Спочатку задайте вільний член, щоб пряма проходила через середину хмари, а потім змінюйте нахил, доки над прямою не опиниться приблизно стільки ж точок, скільки під нею.
Пряма найменших квадратів завжди проходить через середню точку, тобто через середнє x і середнє y (проста лінійна регресія: числові властивості), тож знайдіть центр хмари й повертайте пряму навколо нього.
Через піднесення до квадрата великі промахи важать набагато більше за малі: удвічі довший залишок додає вчетверо більше похибки, тож не дозволяйте далекій точці висіти далеко осторонь.
У Exact виберіть дві точки, що лежать на лініях сітки, і знайдіть нахил як відношення підйому до зміщення по горизонталі.
У Drift тримайте нахил сталим і стежте за хмарою за допомогою вільного члена.
Що ви дізнаєтесь
Line of Fit дає змогу побачити й відчути лінійну регресію: що роблять нахил і вільний член, що таке залишок і чому найкраща пряма врівноважує точки, а не проходить через них.
Навички: лінійні функції, нахил і вільний член, діаграми розсіювання, залишки, метод найменших квадратів
Найкраще для: приблизно 8–12 класів (вік 13+)
Для батьків і вчителів: спершу підібрати пряму на око, а потім порівняти її з прямою найменших квадратів — добрий шлях до формул, а раунди Exact тренують уміння визначати нахил і вільний член за графіком.
Витоки
Пряма, з якою гра порівнює вашу, — це пряма найменших квадратів. Перший чіткий виклад методу найменших квадратів опублікував Адрієн Марі Лежандр у 1805 році в праці про визначення орбіт комет; у 1809 році Карл Фрідріх Гаусс опублікував власний метод і заявив, що володів ним із 1795 року (метод найменших квадратів: історія). Розрахунки Гаусса за методом найменших квадратів виявилися єдиними передбаченнями, які дали змогу астроному Францу Ксаверу фон Цаху знову знайти астероїд Цереру після того, як Джузеппе Піацці відкрив її в 1801 році й спостерігав за нею 40 днів (метод найменших квадратів: метод).
Слово «регресія» походить від Френсіса Гальтона, який у XIX столітті вживав його для опису того, як зріст нащадків високих предків має тенденцію повертатися до середнього (регресійний аналіз: історія). Проведення однієї прямої y = m·x + b через точки з однією вхідною та однією вихідною змінною — це проста лінійна регресія (проста лінійна регресія).
Про гру Line of Fit
Line of Fit — оригінальна гра PlayPendium. Її точки генеруються з початкового значення (seed), тож завдання Daily однакове для всіх, а пряма найменших квадратів, з якою порівнюється ваша, обчислюється точно для кожного набору точок. Гра працює в браузері без встановлення й облікового запису.
