Шахи — наш еталон глибини. Тихий дизайнерський вибір робить WordChess ще глибшим.
У 1950 році Клод Шеннон, батько теорії інформації, , оцінив, скільки різних партій у шахи можливе. Його відповідь, приблизно 10120, стала числом Шеннона, і з того часу воно закріпило нашу інтуїцію.1 Це число настільки велике, що соромить фізичний Всесвіт, який містить лише близько 1080 атомів.6 Ви могли б виділити кожному атому власну шахівницю, і все одно не вистачило б дощок, щоб зіграти кожну можливу партію.
Шахи заслужили це чесно. Від самого початку білі мають 20 ходів; чорні відповідають 20, і вже після одного обміну існує 400 позицій. На шостому півході кількість перевищує 119 мільйонів; до десятого вона досягає 69 трильйонів.4 Гравці називають це коефіцієнтом розгалуження, тобто кількістю законних варіантів на кожному ході. У шахах він в середньому становить близько 35.2 Ця невелика цифра, що множиться хід за ходом, є рушійною силою таємниці гри. Протягом перших двадцяти ходів вона породжує близько 1060 партій. Джерелом глибини шахів є не фігури. Це розгалуження.
Ранні кількості ходів у шахах відомі точно. У WordChess це оцінки, але дві гри розходяться настільки швидко, що різниця є очевидною вже в межах одного ходу.4
| Після ходу | Шахи, точно 4 | WordChess, оцінка 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
Показники для шахів є точними кількостями генерації ходів (perft).4 Показники для WordChess припускають приблизно мільйон законних початкових розміщень на кожного гравця та консервативну тисячу далі, дивіться примітку про метод.
WordChess виглядає як м’якший родич, словесна гра на сітці, ближча до кросворда, ніж до сутички. Це враження цілком хибне, і причина в одному рядку її правил: кожен гравець тримає весь пул зі ста плиток.7
Немає стійки на сім плиток, немає удачі при роздачі, немає очікування на голосну. У будь-який хід гравець може сягнути майже будь-якого з 148,941 слів у словнику, слів довжиною до п’ятнадцяти літер, і шукати місце, де їх розмістити.7 Scrabble, обмежений своїми сімома випадковими плитками, пропонує коефіцієнт розгалуження приблизно 35, що приблизно відповідає шахам.5 WordChess повністю прибирає цей вузький місце.
Наслідок цього — насильницький. Самий перший хід відкриває десь між одним і двома мільйонами законних розміщень: слово, орієнтація та місце на відкритій дошці 25×25. Коли обидва гравці зробили лише одинхід, гра розгалужилася на щось на кшталт трильйона позицій. Шахи після того ж обміну мають чотириста.3
Правила простіші. Простір можливостей — ні.
Кожна сходинка у десять разів вища за попередню. На цій шкалі перші двадцять ходів у WordChess чистим шляхом перевищують кількість атомів у всесвіті і приземляються саме там, де знаходиться ціла шахова партія.1
По мірі того, як дошка заповнюється, коефіцієнт розгалуження в шахах поступово зростає до 35 і тримається на цьому рівні. У WordChess він залишається в межах тисяч: кожне вже зігране слово стає новою опорою, до якої можна «прив’язатися», а повний пул плиток означає, що єдиний реальний обмежувач — це те, які перетини дозволяє словник.7
Проектуємо це вперед. При навмисно консервативних тисячі законних ходів за хід WordChess досягає 10120, числа Шеннона, складності цілої шахової партії, вже в межах своїх перших двадцяти ходів. Дозвольмо десять тисяч ходів за хід, що все ще є розумним, і двадцять ходів піднімається до 10160: перевага в сорок до ста порядків величини над шаховим 1060.1
Зменшіть оцінку до такої міри, що ви припускаєте, гравець знаходить лише триста законних ходів за хід, частка від справжньої кількості, і навіть двадцять ходів дають 1099. Все одно це на сорок порядків більше, ніж у шахах. Висновок витримує будь-яку песимістичну передумову, яку ви можете йому надати.1
Числа для шахів є результатом десятиліть вичерпних обчислень; вони відомі. Числа для WordChess — це ретельні оцінки, отримані з його реальних параметрів: дошка 25×25, словник із 148 941 слова та повний набір літер, і вони мають широкі межі похибки. Те, що не викликає сумнівів, — це напрямок і масштаб розриву. Кожна передумова в цьому матеріалі була обрана максимально консервативно, і розрив все одно є надзвичайно великим.
Шахи обмежують вас: кінь рухається як кінь, пішак повзе на одну клітинку, і ваші варіанти, хоч і багаті, є скінченними й знайомими. WordChess дає вам цілу мову та цілу дошку і просить вас обрати. Саме таку угоду робить дизайн, і саме тому дружня сітка приховує комбінаторний океан.
Жодне з цього не робить WordChess складнішим у грі добре, більший простір пошуку не є тим самим, що й глибша стратегія, і геніальність шахів полягає в тому, скільки сенсу вони витискають зі свого вузького розгалуження. Але будь-хто, хто уявляє гру зі словами як легку опцію, має математику повністю навпаки. У перші двадцять ходів WordChess робить велику гру королів майже незначною.
Метод. «20 ходів» означає 20 ходів для кожного гравця, 40 півходів, шахова конвенція. Шахи: кількість ігор ≈ b40 де b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: відкривальна розгалуженість оцінюється як (грабельні слова, що проходять через центр) × (розміщення на слово) ≈ 106 на бік; пізніші ходи утримуються на консервативному рівні 103–104 → b40 ≈ 10120–10160. Нижня межа 1099 використовує b = 300. Це оцінки, а не докази; див. «Примітка про впевненість».