Двобій просторів станів між пласкою сіткою двійок і кубом, збудованим цілком із трійок.
Написано й відредаговано англійською. Цю українську версію створено машинним перекладом; там, де важлива точність, авторитетним є англійський оригінал. Читати оригінал англійською →
Обидві гри — головоломки з ковзанням чисел. У 2048 ви штовхаєте сітку 4×4 із шістнадцяти клітинок в одному з чотирьох напрямків; однакові плитки зіштовхуються й подвоюються, піднімаючись степенями двійки. У 3927 ви штовхаєте куб 3×3×3 із двадцяти семи клітинок в одному з шести напрямків; три однакові блоки зіштовхуються й потроюються, піднімаючись степенями трійки — 3, 9, 27, тими самими цифрами, з яких складається назва. 1 Питати, яка з них складніша, — це насправді питати, яка гра ховає більший океан можливих позицій. Тож спробуймо виміряти цю воду.
Сирий розмір дошки зростає як (символів на клітинку)cells. Кількість клітинок стоїть у показнику степеня, а саме там і зосереджено весь важіль. 2048 має шістнадцять клітинок; 3927 — двадцять сім. Зафіксуйте абетку однієї клітинки, і куб уже більший приблизно в a27−16 = a11 разів; за абетки з десяти символів лише це дає в сто мільярдів разів більше станів, ще до того, як ми врахуємо будь-що інше. Справжній рушій — додатковий вимір, а не трійкова арифметика.
Кожна клітинка або порожня, або містить одне значення плитки. Для 2048 з обмеженням на плитці 256 клітинка вимовляє один із дев’яти символів: порожнечу плюс {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Опублікована верхня межа, побудована саме на цій абетці, оцінює дошку 4×4 приблизно в 5,63 × 1014 позицій, і автори відверто визнають, що ця стеля включає неприпустимі дошки, які насправді ніколи не можуть виникнути. 2 Дайте 3927 порівнянну глибину — порожнечу плюс {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, вісім символів, — і її сира стеля становить 827 ≈ 2,4 × 1024. Основа 3 дає 3927 менше символів на клітинку, ніж дала б основа 2; одинадцять зайвих клітинок повертають їй усе небо.
Опустіть драбини значень трохи глибше, і стеля 3927 перевищить стелю 2048 десь у мільярд — сто мільярдів разів. Куб виграє на показнику степеня.
Ніхто не перелічив досяжні стани повнорозмірної 2048, не кажучи вже про 3927. Але дослідники таки вичерпно розв’язали зменшені дошки 2048, і ці точні цифри стають опорою для наших оцінок. Дошка 2048 розміром 3×3 має 48 713 519 досяжних станів; розтягніть її до 4×3 — і кількість перестрибує за трильйон: 1 152 817 492 752 стани, з яких 739 648 886 170 — різні позиції після ходу. 3 Кожна додана клітинка множить світ. Продовжте цю криву до 27 клітинок, і жодна чесна таблиця не зможе надрукувати одне-єдине число.
| Властивість | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Дошка | пласка 4×4 | куб 3×3×3 |
| Клітинки | 16 | 27 |
| Основа системи числення | 2 | 3 |
| Правило злиття | 2 однакові → подвоєння | 3 однакові → потроєння |
| Напрямки зсуву | 4 | 6 |
| Символів / клітинку (за однакової глибини) | 9 | 8 |
| Сира стеля (разом із неприпустимими) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Цитована уточнена верхня межа | 5.63 × 10¹⁴ | не опубліковано |
| Точна кількість, піддошка 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Кожне велике число тут — це верхня межа або оцінка за порядком величини, а ніколи не перепис. Стелі враховують дошки, яких правильна гра ніколи не досягне, — скажімо, дошку з однією-єдиною плиткою (обидві ігри починаються з двох плиток, і після кожного ходу додають нову, тож жодна дошка ніколи не зводиться до однієї плитки), або значення, яких не може дати жодна послідовність злиттів. Цифри для 2048 взято з рецензованих праць; цифри для 3927 — це мої власні прикидкові стелі, обчислені тим самим способом, і їх слід читати як «не більше за це, а ймовірно, набагато менше». Правила обох ігор взято з проєктної документації гри, а не припущено.
Розмір простору станів — це мапа; коефіцієнт розгалуження — те, як швидко ви нею йдете. На кожному ході гравець обирає напрямок — до чотирьох у 2048, до шести в 3927, — тож куб пропонує на п’ятдесят відсотків більше справжніх виборів за хід. Далі втручається випадок: гра кидає нову плитку в довільну порожню клітинку. 2048 породжує 2 або 4 — приблизно два результати на кожну вільну клітинку, яких може бути до п’ятнадцяти; 3927 завжди породжує одну-єдину 3, але в будь-яку з аж двадцяти шести порожніх. 1 Помножте рішення на випадок, і дерево гри 3927 розходиться ширше на кожному півході, а оскільки злиття трьох рідші за злиття двох, її партії, як правило, тривають довше, тож дерево не лише ширшає, а й глибшає.
«Складніше» для людини — справа відчуття, і 2048 теж не легка здобич: визначити, чи може довільна позиція дійти до цільової плитки, — задача, доведено NP-складна на загальній дошці. 4 Але як комбінаторний об’єкт 3927 — більший звір із широким і чесним відривом: більше клітинок у показнику степеня, більше напрямків у розгалуженні, довші партії в глибину. Трійкова арифметика, що дала їй назву, — майже хибний слід. Складність ніколи не була в трійках. Вона була в третьому вимірі.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.